სასრული სხვაობის მეთოდი ფინანსების გარდა აქტიურად გამოიყენება ფიზიკისა და ინჟინერიის დარგებში , – 🌡️ თბოგადაცემის განტოლებებში (Heat equation), 🌊 სითხეების დინამიკაში (Navier–Stokes), ⚡ ელექტრო-მაგნეტიზმში, 🧠 ნეირონული დიფუზიასა თუ🏗️ სტრუქტურული მექანიკაში…
მეთოდი გულისხმობს უწყვეტი დიფერენციალური განტოლების დაშლას სასრული სხვაობების განტოლებების სისტემად, და შემდეგ მათ ამოხსნას.
ოფციების შეფასების შემთხვევაში დგება მატრიცა, რომლის ერთი განზომილება წარმოადგენს ქვემდებარე აქციის ფასის ვერსიებს, ხოლო მეორე კონტაქტის ამოწურვამდე დარჩენილ დროს. მათ გადაკვეთაზე კი ხდება ოფციის ღირებულების გაანგარიშება.
მეთოდი ორგვარია არაპირდაპირი/ნაგულისხმევი (Implicit) და პირდაპირი Explicit.
Implicit Finite Difference Method
მაგალითზე განვიხილოთ. დავუშვათ გვინდა 5 თვიანი ამერიკული PUT ოფციის ფასის დათვლა, რომლის აღსრულების ფასი 50$-ია.
პირველ რიგში მატრიცა რომ შევადგინოთ უნდა გადავწყვიტოთ, რამდენ საფეხურად ვყოფთ ფასს და დროს. ჯერ იღებენ მაქსიმალურ ფასს (Smax), რომლის დროსაც Put ოფციის ღირებულება, რომ დადებითი გახდეს თითქმის ნულის ტოლია. ჩვენ მაგალითში ეს ციფრი 100$-ია. შემდეგ ეტაპზე ხდება იმის განსაზღვრა თუ რამდენ საფეხურად დავყოფთ დროს და ფასს. საბოლოო ჯამში ესეთ საწყის მონაცემებს ვიღებთ:
ამის შემდეგ ხდება მატრიცის საზღვრების დადგენა, სადაც განისაზღვრება ოფციის ფასები, შედარებით მარტივი ფორმულაებით:
შემდეგ ეტაპზე ხდება ჯერ კოეფიციენტების დათვლა და შემდეგ მატრიცაში უჯრების გადათვლა. ვინაიდან ფორმულები შეიცავს Circular-ს, ექსელში უნდა ჩავრთოთ შესაბამისი ფუნქცია:
წრიული ფორმულის (Circular) საჭიროება გამომდინარეობს იქედან რომ მატრიცის მეზობელი უჯრები ერთმანეთზე ურთიერთდამოკიდებულნი არიან. ანუ განტოლებათა სისტემა იხსნება მთელ სტრიქონზე.
მნიშვნელობა აქვს დათვლის თანმიმდევრობას, რადგან როგორც ბინომიალური ხეების შემთხვევაში აქაც გადმოთვლა ხდება ბოლოდან ახლო მომავლისკენ. (ყურადღება მიაქციეთ რომ დროითი ღერძი აჩვენებს კონტრაქტის ამოწურვამდე დარჩენილ დროს) ჩვენს მაგალითზე პირველი უჯრა ითვლება ქვედა მარცხენა კუთხიდან, მერე მისი მიდებარე მარჯვენა უჯრები, და შემდეგ ზედა სტრიქონები. ანუ ფორმულას ჯერ გადავათრევთ მარჯვნივ და მერე სტრიქონს ზემოთ.
საბოლოოდ მიღებული შედეგი არის ოფციის ფასი, რომელიც ნაჩვენებია 50$-ის სვეტისა და 5 თვის სტრიქონის თანაკვეთაზე – 4.1$.
მნიშვნელოვანია აღვნიშნოთ რომ ამერიკულ ოფციებს აქვთ დროზე ადრე განაღდების უფლება, რასაც ზემოთ აღნიშნული მეთოდი დათვლებისას ითვალისწინებს.
ამასთან, მიღებული შედეგი, არის იმდენად ზუსტი რამდენადაც ბევრ “პიქსელიანი” მატრიცა გვექნება. რადგან ეს უწყვეტი ინტეგრალის დისკრეტული გადაწყვეტაა, მათი მნიშვნელობები ერთმანეთს ემთხვევა უსასრუდოდ მცირე უჯრედებად დაშლის შემთხვევაში.
ამიტომ, გამოსადექია Control variate technique -ს გამოყენება. მაგალითად ჩვენი მაგალითის შემთხვევაში იგივე მატრიცით დათვლილი ევროპული ოფციის ღირებულება 3.91 $-ია, ხოლო ბლეკ-სქულსის ფორმულით ვიღებთ 4.07$-ს. მათ შორის სხვაობა არის ის სხვაობა რაც შეგვიძლია ვივარაუდოთ ცდომილებად მიღებულ პასუხსა და რეალურ პასუხს შორის. რაც საბოლოოდ მოგვცემს – 4.1 + (4.07-3.91) = 4.26 $ -ს.
Explicit Finite Difference Method
პირდაპირი დათვლის მეთოდი ნაგულისხმევისგან განსხვავდება იმით, რომ აქ პირდაპირი ალგებრაა, – არ გვაქვს იტერაციები. შესაბამისად შედარებით ნაკლები გამოთვილითი ენერგიაა საჭირო, თუმცა ამ მეთოდს ყოველთვის პასუხზე არ გავყავართ (მოდელი ფეთქდება ხოლმე). უჯრებს შორის დამოკიდებულება სხვაგვარია, – თითოეული უჯრა ქვედა სტრიქონის მეზობლებზეა დამოკიდებული:
დამტკიცებადია რომ ეს მეთოდი ტრინომიალური ხის ანალოგიური გადაწყვეტაა მატრიცის სახით.
პ.ს.
უფრო ეფექტრი დათვლებისთვის მატრიცაში ფასების ნაცვლად უკეთესია მათი ლოგარითმის აღება, ანუ S-ის ჩანაცვლება Ln(S)-ით. რაც ფორმულებს აკორექტირებს (ამის ექსელი არ გამიკეთებია).
პ.პ.ს.
არსებობს ასევე მეთოდის სხვადასხვაგვარი ვარიაციები, მაგალითად Crank- Nicolson-ის მეთოდი, რომელიც Implicit და Explicit ვერსიების გასაშუალოებას წარმოადგენს. ფორმულების გარდაქმნა ხდება შესაბამის ჭრლშებში.
ექსელის ფაილები:
წყარო:
Options, Futures & Other Derivatives, John C. Hull