მონტე-კარლოს სიმულაციის მეთოდის მთავარი უპირატესობა ბინომიალურ ხეებთან არის ის, რომ მისი გამოყენება შესაძლებელია ისეთი ოფციების შესაფასებლად, რომელთა შემოსავლიანობა დამოკიდებულია როგორც ქვემდებარე აქტივის საბოლოო ფასზე, ისე ფასის მიერ გავლილ გზაზე კონტრაქტის განმავლობაში. მაგალითად, აზიური ოფციების ანაზღაურება განისაზღვრება საშუალო ფასით. ასევე არსებობს პერიოდულად ანაზღაურებადი ოფციებიც.
ამასთან, ბინომიალურ ხესთან შედარებით, მონეტ-კარლოს მეთოდი მოხერხებულია როცა ცვლადებისა და ბიჯების რაოდენობა იზრდება. მაგალითად, როცა ოფცია ეყრდნობა რამდენიმე ქვემდებარე აქციას, ბინომიალურმა ხემ უნდა მოიცვას მოვლენების განვითარების ყველა გზა, და კალკულაციებისთვის საჭირო რესურსი ექსპოტენციალურად იზრდება, მაშინ როცა მონტე-კარლო ახდეს მთლიანი განვლილი გზების შერჩევით სიმულაციას. ამიტომ გამოთვლებისთვის საჭირო რესურსი მხოლოდ წრფივად იზრდება. იგივე ლოგიკა მუშაობს, ხის დატოტვის ბიჯების რაოდენობასთან მიმართებაშიც…
მონტე-კარლოს მეთოდის მთავარი ნაკლი არის ის რომ მას ადვილად არ შეუძლია დროზე ადრე ჩახურვადი ოფციების ღირებულების გაანგარიშება, ამიტომ ნაკლებად გამოყენებადია ამერიკული ოფციებისთვის.
როგორ მუშაობს მეთოდი:
მონტე-კარლოს მეთოდი გულისხმობს მოვლენების განვითარების მრავალი სცენარის სიმულაციას, მიღებული შემთხვევითი შედეგების შეჯამებას და გასაშუალოებას, იმ მიზნით რომ მოხდეს უცნობი ცვლადის ან შედეგის შეფასება.
მაგალითად, თუ სამიზნედ ავიღებთ კვადრატში ჩახაზულ წრეწირს, და ვესვრით ბევრ ტყვიას, რომელთა გაბნევის ალბათობა ეთიდაიგივეა როგორც წრეწირის შიგნით ისე მის გარეთ კვადრატში, მოხვედრილი ტყვიების რაოდენობით შეიძლება შევაფასოთ “პი”-ს მნიშვნელობა. ექსელში* აგებული პროგრამის მიხედვით, 1000 გასროლიდან, მივიღე რომ PI=3.11-ს უდრის, და Standard Error-ი 0.1-ია:
აზიური ოფციის დაანგარიშება
დავუშვათ გვაქვს 5 თვიანი PUT ოფცია, რომლის ანაზღაურება დამოკიდებულია, ყოველი თვის ბოლოს აქციის ფასების საშუალოზე. საწყისი მონაცემები ასეთია:
შეგვიძლია გამოვიყენოთ რისკ-ნეიტრალური სამყაროს მეთოდი, და მოვახდინოთ აქციის ფასის განვითარების სიმულაცია, დავთვალოთ საბოლოო შედეგი და დავადისკონტიროთ ურისკო განაკვეთით.
შუალედური კალკულაციებით ვადგენთ, ზრდის რისკ ნეიტრალურ ალბათობას. ჩვენი მაგალითისთვის 49%-ია. შემდეგ ექსელის rand() ფუნქციის გამოყენებით, შედეგებს გარდავქმნით 0-ებად და 1-ებად. ანუ ფასის ზრდად ან შემცირებად. ქვემოთ სტრიქონში მოცემულია ერთი გზა რომელსაც აქციის ფასი გაივვლის მისი საწყისი ფასიდან:
შეგვიძლია ასეთი მრავალი გზის სიმულაცია (ექსელის ფაილი ნახეთ ტექსტის ბოლოში).
სქემატურად:
მიღებული შედეგი, არის ოფციის ანაზრაურების საშუალო (Average Payoff) და მისი დისკონტირება ურისკო განაკვეთით:
სიმულაციის მოკლე გზები (Shortcuts)
ზემოთ აგებული სიმულაცია, მოიცავს მხოლოდ 5 ეტაპს და 20 გზას. პრაქტიკაში ციფრები ბევრად უფრო დიდია ხოლმე, რაც გათვლებისთვის საჭირო დროს და რესუსრს მნიშვნელოვნად ზრდის. ამიტომ იყენებენ shortcut მეთოდებს იმისთვის რომ შეფასების უფრო ზუსტი შედეგები უფრო მცირე გათვლებით იქნას მიღწეული. ვნახოთ ეს მეთოდები:
ანტიცვლადების ტექნიკა (Antithetic Variable Technique), გულისხმობს სიმულაციის შედეგების ბალანსირებას, ანტი-ცვლადების მეშვეობით, რომ არ მოხდეს მხოლოდ ერთი მიმართულების ხეების სიმულაცია და არ დაიხარჯოს რესურსი არასაჭირო გაანგარიშებებზე. ჩვენი ზემოთ აღწერილი მაგალითი რომ გავაგრძელოთ, rand() ფუქციით მიღებული ერთი გზა შეგვიძლია დამატებთი სიმულაციის გარეშე გამოვიყენოთ მეორე გზის დასაგენერირებლად:
მეორე სტრიქონი უდრის ერთს-ს გამოკლებული პირველი სტრიქონი. (შენიშვნა: ასეთი გარდაქმნა აუცილებლად არ იწვევს სიმეტრიულად საპირისპირო გზას, როგორც ამ შემთხვევაშია მოცემული. დამიკიდებულია რისკ-ნეიტრალურ ზრდის ალბათობაზე. მაგალითად თუ ეს ალბათობა იქნებოდა 48%, და rand()-ს მივიღებდით 49%-ს, მაშინ ორივე ისარი ზემოთ იქნებოდა მიმართული).
ცდომილების კონტროლის ტექნიკა (Control Variate Technique) – გულისხმობს, მსგავსი სიდიდის ცდომილების ცოდნის გამოყენებას იმის გასაკონტროლებლად რაც არ ვიცით. მაგალითად თუ გვაქვს ორი მსგავსი ევროპული ოფცია, ერთ-ერთ მათგანზე ვიცით თუ როგორ განსხვავდება შედეგები, ცვლადი და ფიქსირებული მერყეობის მქონე ვერსიებისთვის, შეგვიძლია მეორე ოფცია დავიანგარიშოთ ფიქსირებული მერყეობის ფორმულით და დავაკორექტიროთ შედეგი, რომ მივიღოთ ცვლადი მერყეობის მქონე ოფციის ღირებულება.
ფენობრივი შერჩევა (Stratified Sampling) – ნაცვლად იმისა რომ შემთხვევით შეარჩიო ცვლადები გენერალური მასისგან, ახდენ არეალებად დაყოფას და თითოეული არეალიდან შერჩევას. სხვა შემთხვევაში შესალებელი იქნებოდა რომ შერჩევისას გამოგვრჩენოდა მნშვნელოვანი არეალები და ამავდროულად გვეკეთებინა არასაჭირო კალკულაციები ერთიდაიმავე არეალის გამეორებებით.
ჩვენი მაგალისთვის, იმის მაგივრად რომ rand() ფუნქციას მივცეთ თავისუფლად არჩევის საშუალება, რამაც შესაძლოა გამოიწვიოს კლასტერიზაცია იტერაციების სიმცირის გამო, შეგვიძლია დავჭრათ შესაძლო შედეგები რამდენიმე ნაწილად. ანუ, იმის ნაცვლად რომ გავაკეთო 100 იტერაცია ჩვეულებრივი rand() ფუნქციით, შეიძლება 0-დან 1-მდე შუალედი გავჭრათ 4 ნაწილად და გავაკეთოთ 10 იტერაცია თითოეული სეგმენტიდან. რაც, საკმარისად გააბნევს შემთხვევით მიღებულ ციფრებს.
მომენტების მორგება – Moment Matching – გულისხმობს შერჩეული ცვლადების მორგებას წინასწარ ცნობილ დისტრიბუციის პარამეტრებზე. დისტრიბუციის მომენტები შეიძლება იყოს: 1. საშუალო; 2. მერყეობა; 3. გადახრა: 4. კუდის სისქე… მაგალიტად თუ ვიცი, რომ შერჩეული ცვლადები უნდა აკმაყოფილებდენ ნორმალურ დისტრიბუციას, რომლის საშუალოა ნული, და შერჩევის შედეგად მივიღე საშუალო – 1, შემიცლია ყველა ცვლადი ჯამურად ავიღო და მარჯვნივ გადავწიო ერთი ერთეულით, რომ მოვარგო დისტრიბუციის მომენტს.
როგორ მუშაობს ეს ჩვენი მაგალითისთვის? ჩვენ ვიცით, რომ აქციის ფასის გაზრდი რისკ-ნეიტრალური ალბათობა 49%-ია. შესაბამისად, იმის მაგივრად რომ rand() ფუქნციით ვაკეთო იტერაციები. ავიღებ 49 – Up-ს და 51-down-ს, ყველა ბიჯზე, ოღონდ ავრევ თანმიმდევრობებს. ამით მივიღებ, ალბათობის შესაბამის აღმა და დაღმა სვლებს… მნიშვნელოვნად შემცირდება კალკულაციებისთვის საჭირო დრო და ენერგია.
კვაზი-შემთხვევითი თანმიმდევრობები – Quasi-Random Sequences – მეთოდი დეტერმინისტულად არჩევს ცვლადებს. ის გავს ფენობრივი შერჩევის პრინციპს, მაგრამ უფრო მობილურია რადგან წინასწარ არ არის საჭირო არეალის ზუსტი რაოდენობის სეგმენტებად დაჭრა. აქ ხდება ჯერ საწყისი შემთხვევითი სიდიდეების სწორად შერჩევა და შემდეგ ეტაპზებზე ახალი სიდიდეების შერჩეულებს შორის მოთავსება. მეთოდი ეკუთვნის I.M. Sobol-ს: (სსრკ)
პ.ს.
Excel – Monte Carlo PI & Asian Option
წყარო:
Options, Futures & Other Derivatives, John C. Hull