ერთი მეთოდი რომლითაც ამერიკული ოფციის ღირებულების დათვლა ხდება არის ბინომიალური ხის აგება, ამაზე ადრეც დამიწერია (Binomial Trees), ამიტომ აქ უფრო მნიშვნელოვან ნიუანსებს ჩავუღრმავდები.

დავიწყოთ იმით რომ John C. Hull-ის წიგნში Options, Futures & Other Derivatives, მითითებულია ექსლეში შექმნილი ოფციების კალკულატორი, რომელიც ბინომიალური ხეების აგებას ახდენს(DerivaGem Software).

მაგალითად, ვნახოთ 5 თვიანი ამერიკული PUT ოფციისთვის უდივიდენდო აქციაზე, ასეთი მონაცემებით:

აქციის ფასი – 50 $
აღსრულების ფასი – 50$
ურისკო წლიური პროცენტი – 10%
ბიჯების რაოდენობა – 5
მერყეობა – 40%

DerivaGem-მა დააგენერირა ასეთი ხე (DG400a):

დაწყვილებული უჯრებიდან, ზედა უჯრები წარმოადგენენ აქციის ფასების ევოლუციას, ხოლო ქვედა უჯრები გამოიყენება ოფციის ფასის დასათვლელად. აქციის ფასები ვითარდება მერყეობაზე დაყრდნობით, ხოლო ოფციის ფასების კალკულაცია იწყება ბოლოდან და დაანგარიშებები მოდის უკან.

ბოლო ტოტებზე, მოვლენების განვითარების იმ ვერსიებში სადაც აქციის ფასი აღემატება მიმდინარე ფასს, ბუნებრივია PUT ოფცია ღირებულებას კარგავს. სხვა ვერსიებში ვიღებთ ოფციის ღირებულებას შესაბამის ფასთაშორის სხვაობით. შემდეგ ხდება ამ ციფრების შეწონილი დისკონტირება უკან, ურისკო განაკვეთით. შეწონვა ხდება რისკ ნეიტრალური სამყაროს ალბათობების შესაბამისად.

ფორმულები და კოეფიციენტები გასახსენებლად:

ერთი ნიუანსი – როცა ოფციის ფასს უკან დახევისას ვწონით მიღებული ციფრი დარდება მიმდინარე აქციის ფასსა და შესაბამის ზედა უჯრაში არსებულ ფასს შორის სხვაობას, და ოფციის უჯრაში იწერება ამ ორს შორის მაქსიმუმი, – გამომდინარე იქედან, რომ ზოგ შემთხვევაში ოფციის განაღდებაა რაციონალური.

ეტაპების რაოდენობა

რაც უფრო ბევრ ეტაპად დავალაგებთ ხეს მით უფრო ვამცირებთ ოფციის შეფასებაში ცდომილების დიაპაზონს. აბსოლიტურ სიზუსტეს ვაღწევთ მაშინ როცა ეტაპების რაოდენობა უსასრულობას უტოლდება, თუმცა 30 ეტაპიანი ხე უკვე გვაქცევს საკმარისად კარგ ჩარჩოებში.

დიაგრამაზე მოცემულია ჩვენს მიერ განხილული ოფციის ევროპული ვერსიის შეფასება თუ როგორ უახლოვდება Black-Scholes ფორმულით დათვლილს, საანგარიშო ბიჯების რაოდენობის გაზრდის პარალელურად.

DG400 Applications – ამ ფაილში ასევე არის ბერძნული სიმბოლოების ამერიკული ოფციებისთვის დათვლის ფორმულებიც.

Control Variate Technique – დაზუსტების ტექნიკა

იმისთვის, რომ ამერიკული ოფციის ფასი დააზუსტონ, იმავე ხით აკეთებენ ევროპული ოფციის ფასის დათვლას, და ადარებენ მას ბლეკ-სკულსის ფორმულით მიღებულ შედეგს. შემდეგ კი ამ უკანასკნელს ამატებენ ამერიკული ოფციისთვის მიღებულ ფასს. ანუ თვლიან, რომ ხით მიღებული შედეგის ვარიაცია ნამდვილი ღირებულებისგან იგივეობრივია ამერიკული და ევროპული ოფციებისთვის:

ინდექსები, ფიუჩერსები, ვალუტები

ბინომიალური ხის გამოყენება შესაძლებელია სხვა ტიპის ოფციების დასათვლელადაც. ამ შემთხვევაში გამოიყენება “ცნობილი დივიდენდის განაკვეთის” შესაბამისი ხის აგების ტექნიკა, რომელიც ასევე მოცემულია DerivaGam-ში.

ინდექს ოფციებისთვის – ცნობილი დივიდენდის განავეთი ის განაკვეთია, რასაც პორთფელში არსებული აქციები აგენერირებენ; სავალუტო ოფციებისთვის უნდა გამოვიყენოთ უცხოური ვალუტის ურისკო საპროცენტო განაკვეთი; ხოლო ფიუჩერს ოფციებისთვის – შესაბამისი საშინაო ვალუტის ურისკო საპროცენტო განაკვეთი.

ალტერნატული ხეები

არსებობს ბინომიალური ხის აგების სხვა ალტერნატივაც, სადაც ფასის აწევა/დაწევის ალბათობას იღებენ არა რისკ ნეიტრალური სამყაროს შესაბამისად, არამედ 50/50-ზე, და შესაბამისად ცვლიან თვითონ მერყეობის დიაპაზონებს. ასეთი ხე უფრო ამარტივებს ოფციის შეფასების კალკულაციებს, მაგრამ ის ნაკლი აქვს რომ ბერძნული სიმბოლოების დათვლა რთულდება.

ასევე აგებენ ტრინომიალურ (სამ ტოტიან) ხეებსაც. შესაბამისად გვაქვს აქციის ფასის გაზდის, შემცირების და იგივე ფასზე დარჩენის ალბათობები. ტრინომიალური ხე შეფასების რაციონალურ ჩარჩოებთან უფრო ნაკლები ბიჯებით ახერხებს მისვლას. მაგალითად, 200 ბიჯიან ტრნინომიალურ ხეს შეუძლია 1000 ბიჯიან ბინომიალურის სიზუსტეს მიაღწიოს. ამიტომ, ეგზოტიკური ოფციებისთვის უფრო მსახერხებელია.

დროზე დამოკიდებული ცვლადები

ზემოთ მოცემული ანალიზიდან ჩვენ დავუშვით რომ პარამეტრები დროზე დამოკიდებული არ არის, მაგრამ პრაქტიკაში საპროცენტო და დივიდენდის განაკვეთი ასევე მერყეობა დროზე დამოკიდებული ცვლადებია.

განაკვეთები აიღება ხოლმე forward განაკვეთებით. ეს არ ცვლის ხის გეომეტრიას (მერყეობის ლიმიტებს), მაგრამ ცვლის რისკნეიტრალურ ალბათობებს ყველა ეტაპზე:

უფრო რთული საკითხია მერყეობის ცვლილება დროში. მერყეობა ცვლის u-სა და d-ს, ამიტომ ხის შეკვრა რთულდება. ერთი ტექნიკური მიდგომა იმისთვის, რომ u-სა და d-ს იგივეობა შენარჩუნდეს ყველა ტოტზე, არის დროითი დიაპაზონების ვარიაციის უკუპროპორციულად რეგულირება ბიჯებს შორის (ნახეთ დანართი 1).

წყარო:
Options, Futures & Other Derivatives, John C. Hull

დანართი 1

Copilot-ის შესაბამისი ახსნა, თუ როგორ უნდა მოხდეს მერყეობის დროში ცვალებადობის გათვალისწინება:

Step-by-step explanation of the text

1. Volatility is time‑dependent: $α (t)$

Cumulative variance up to time $t$ is:

$α (t)^{2} t$

This is just “volatility squared × time”.

2. Define total variance over the life of the option:

$V = α (T)^{2} T$

This is the total variance from 0 to maturity $T$ .

3. You want N steps, each with equal variance

So each step should have variance:

$\frac{V}{N}$

4. Choose the time grid so that cumulative variance grows linearly

Hull defines the time points $t_{i}$ by:

$α (t_{i})^{2} t_{i} = \frac{i V}{N}$

This means:

Step 1 ends when cumulative variance = $V / N$
Step 2 ends when cumulative variance = $2 V / N$
…
Step N ends when cumulative variance = $V$

This ensures:

$α (t_{i})^{2} t_{i} - α (t_{i - 1})^{2} t_{i - 1} = \frac{V}{N}$

So each step has the same variance, even though the time lengths $Δ t_{i} = t_{i} - t_{i - 1}$ are different.

🎯 Why this works

If each step has the same variance, then:

$u = e^{σ \sqrt{Δ t_{i}}} = e^{\sqrt{V / N}}$

is constant for all steps.

So the tree recombines perfectly.

✔ Example with 20% volatility

Let’s assume:

$σ = 20 %$
$T = 1$ year
Choose $N = 500$ steps (a common choice)

Then:

$V = {0.2}^{2} \cdot 1 = 0.04$

Each step must have variance:

$\frac{V}{N} = \frac{0.04}{500} = 0.00008$

So:

$u = e^{\sqrt{0.00008}}$

and the time grid $t_{i}$ is chosen so that:

${0.2}^{2} t_{i} = \frac{i}{500} \cdot 0.04$

which simplifies to:

$t_{i} = \frac{i}{500}$

In this special case (constant volatility), the grid becomes uniform again.

🧩 Final takeaway

Hull’s method is needed only when volatility changes with time.
The number of steps N is your choice, based on accuracy.
Volatility does not determine N.
Uneven time steps ensure each step has equal variance, so u and d stay constant.

გრძელვადიანი ინვესტირება | ბლოგი

ბიზნესის შეფასების, კაპიტალის მომგებიანად განთავსებისა და ზრდის შესახებ

ბინომიალური ხე ამერიკული ოფციისთვის

ეტაპების რაოდენობა

Control Variate Technique – დაზუსტების ტექნიკა

ინდექსები, ფიუჩერსები, ვალუტები

ალტერნატული ხეები

დროზე დამოკიდებული ცვლადები

დანართი 1

Step-by-step explanation of the text

1. Volatility is time‑dependent: $α (t)$

2. Define total variance over the life of the option:

3. You want N steps, each with equal variance

4. Choose the time grid so that cumulative variance grows linearly

🎯 Why this works

✔ Example with 20% volatility

🧩 Final takeaway

Like this:

ეტაპების რაოდენობა

Control Variate Technique – დაზუსტების ტექნიკა

ინდექსები, ფიუჩერსები, ვალუტები

ალტერნატული ხეები

დროზე დამოკიდებული ცვლადები

დანართი 1

Step-by-step explanation of the text

1. Volatility is time‑dependent: α(t)

2. Define total variance over the life of the option:

3. You want N steps, each with equal variance

4. Choose the time grid so that cumulative variance grows linearly

🎯 Why this works

✔ Example with 20% volatility

🧩 Final takeaway

Share this:

Like this:

Discover more from გრძელვადიანი ინვესტირება | ბლოგი

1. Volatility is time‑dependent: $α (t)$