The appeal of valuing both financial and real options using binomial trees lies in their ability to evaluate more complex and nuanced situations. The Black-Scholes formula has many assumptions, which in some cases may not align with reality. For example, valuing an American Call using the Black-Scholes formula is incorrect if the stock pays dividends.

To simplify the construction of event and decision trees, the method of the “risk-neutral world assumption” is used, breaking the tree into two parts: 1. The base tree, which reflects the step-by-step changes in the price of the underlying asset (stock), and 2. The options tree, which, using a backward induction method, leads to the project’s NPV.

In the first stage, the main parameters are calculated using the risk-neutral world assumption:

Minor deviation:

It should be noted that the risk-neutral world assumption is not some unrealistic theory. This idea emerged from the replication method when the Black-Scholes formulas were derived, showing that the risk factor was absent in the final formula, meaning it should not be significant. Afterward, a mathematical solution was developed, yielding the same results as the replication method. More details:

In the next stage, trees are constructed:

In this specific example, the fair price of a European Call option is $54.91, which will be very close to the price calculated by the Black-Scholes formula and would become even closer if we increased the number of steps within the one-year period from 3.

However, we would not be able to use the Black-Scholes formula if, for example, we assumed the possibility of receiving a dividend in the second stage. In this case, the need to make a decision between events arises — to exercise the option and receive the dividend or to allow the stockholder to hold onto it. Which is more profitable?

This model can be complicated within Excel’s framework. Below is a photo of a 5-year option model that can be exercised either exactly after two years or after five years:

Here you can find excel models. On the 3rd link is a model of a real 5-year option that involves shifting the project’s start dates over time. On one hand, we lose monthly dividends; on the other, it allows us to start the project later after observing developments. So, we have 60 steps (months), with 60 exercising opportunities (one a month decision nodes).

Excel Models:

Source:

Venture Capital & the Finance of Innovation – by A. Metrick & A. Yasuda

—————————————————————————————————————

ბინომიალური ხეებით როგორც ფინანსური ისე რეალური ოფციების შეფასების ხიბლი იმაშია, რომ ისინი იძლევიან უფრო რთული და კომპლექსური სიტუაციების შეფასების საშუალებას. ბლეკ-სკულსის ფორმულას აქვს ბევრი წანამძღვარი, რომელიც შესაძლოა ზოგ შემთხვევაში რეალობასთან შეუსაბამობაში მოდიოდეს. მაგალითად, ამერიკული Call-ის შეფასება ბლეკ-სკულსის ფორმულებით არასწორია, თუ აქცია დივიდენდებს გასცემს.

იმ მიზნით, რომ მოვლენების და გადაწყვეტილებების ხის აგება გამარტივდეს, იყენებენ ურისკო სამყაროს დაშვების მეთოდს და ხეს შლიან ორ ნაწილად: 1. საბაზისო ხე, რომელიც ასახავს ქვემდებარე აქტივის (აქციის), ფასის ეტაპობრივ ცვლილებას და 2. ოფციების ხე, როემლსაც უკუდათვლის მეთოდით გავყავართ პროექტის NPV-ზე.

პირველ ეტაპზე ურისკო სამყაროდ დაშვების მეთოდის გამოყენებით ხდება ძირითადი პარამეტრების კალკულაცია:

მცირე გადახვევა:

უნდა ითქვას, რომ ურისკო სამყაროს დაშვების მეთოდი რაღაც არარეალურ თეორიას არ წარმოადგენს. ეს იდეა გაჩნდა რეპლიკაციის მეთოდის გამოყენების შემდეგად, როცა ბლეკსკულსის ფორმულები მიიღეს და ნახეს რომ საბოლოო ფორმულაში რისკის ფაქტორი არ მონაწილეობდა, მაშინ ეს ფაქტორი მნიშვნელოვანი არ უნდა ყოფილიყო. ამის შემდეგ მოხდა მათემატიკური გადაწყვეტა, რომელიც ზუსტად იგივე შედეგს იძლევა როგორსაც რეპლიკაციის მეთოდი. უფრო დაწვრილებით:

შემდეგ ეტაპზე კი ხდება ხეების აგება:

ამ კონკრეტულ მაგალითში, ევროპული Call ოფციის სამართლიანი ფასი 54.91$-ია, რომელიც ძალიან ახლოს იქნება ბკეკსკულსის ფორმულით დათვლის ფასთან, და ის უფრო დაუახლოვდებოდა, რომ ერთწლიანი პერიოდის შიგნით ეტაპების რაოდენობა 3-ის ნაცვლად გაგვეზარდა.

თუმცა ბლეკ-სკულსის ფორმულას ვეღარ გამოვიყენებდით თუ მაგალითად ვიტყოდით რომ მეორე ეტაპზე, დივიდენდის მიღების შესაძლებლობა არსებობს. ამ შემთხვევაში მოვლენებს შორის გადაწყვეტილების მიღების აუცილებლობა ჩნდება – აღვასრულო ოფცია და მივიღო დივიდენდი თუ დავუთმო აქციის მფლობელს. რომელია მომგებიანი ?

ამ მოდელის გართულება შესაძლებელია ექსელის ჩარჩოებში, ქვემოთ მოცემულია 5 წლიანი ოფციის მოდელის ფოტო რომელიც აღსრულებადია ან ზუსტად ორი წლის თავზე ან 5 წლის თავზე:

ბოლოს, ქვემოთ ბმულებზე მოცემულია ექსელის მოდელები. მე-3 ბმულზე მოცემული მოდელი არ განგვიხილია. ის ეხება რეალურ ოფციას, კერძოდ პროექტის დაწყების ვადების გადაწევას დროში. რაც ერთის მხრივ გვაკარგინებს ყოველთვიურ დივიდენდებს, მეორეს მხრივ გვაძლევს საშუალებას, რომ პროექტი მოგვიანებით მოვლენების დაკვირვების შემდეგ დავიწყოთ.

ექსელის მოდელები:

  1. 2 ეტაპიანი ოფცია, დივიდენდის გარეშე და დივიდენდის გათვალისწინებით
  2. 60 ეტაპიანი ოფცია, ორჯერადი აღსრულების შესაძლებლობით
  3. 60 ეტაპიანი ოფცია 60-ჯერადი აღსრულების შესაძლებლობით

წყარო:

Venture Capital & the Finance of Innovation – by A. Metrick & A. Yasuda