აქციის ფასის მოძრაობის მოდელი აკეთებს დაშვებას, რომ დროის ძალიან მცირე მონაკვეთში ფასის %-ული ცვლილება ხასიათდება ნორმალური დისტრიბუციის ალბათობით.

განვსაზღვროთ:

μ – (Expected return on stock per year – continiously compounded) – საშუალო წლიური უკუგების განაკვეთი;

σ – (Volatility of the stock return per year – from geometric average) – ვარიაცია ეხება უკუგების განაკვეთს და არა აქციის ფასს, და ამასთან არის log-return-ის (μ- σ 2 / 2) ცვალებადობა

შესაბამისად, საშუალო უკუგება Δt პერიოდში არის μΔt, ხოლო უკუგების მერყეობა (სტანდარტული გადახრა) იმავე პერიოდში არის σ √Δt.

შესაბამისად,

მარცხენა მხარეს მოცემულია აქციის ფასის პროცენტული ცვლილება, ხოლო მარჯვენა მხარე მიანიშნებს, რომ მისი შემთხვევითობა განაწილებულია ნორმალური დისტრიბუციის ალბათობით, რომლის საშუალოა μΔt, ხოლო ვარიაცია σ2Δt.

შემდეგ, როგორც ვიცით იტოს ლემას გამოყენებით, აქციის ფასის მოძრაობის მოდელმა გაგვიყვანა ასეთ ფორმულებზე (უფრო დეტალურად – Lognormal Property of Stock Price)

ანუ, აქციის ფასის ნატურალური ლოგარითმის Ln (ST) განაწილება ხდება ნორმალური სიხშირით, რაც იმას ნიშნავს რომ ST-ს განაწილება მოხდება ლოგ-ნორმალური სიხშირით. დაახლოებით აი ასე:

ამის შემდეგ გავდივართ ახალ ფორმულებზე რომელიც აქციის ფასის საშუალო მოლოდინსა და ვარიაციას გვიჩვენებენ:

ვნახოთ ასეთი მაგალითი, სადაც გვაინტერესებს ფასის ევოლუციის დიაპაზონი 95%-ანი დამაჯერებლობით:

იმის გამო რომ Ln ST (აქციის ფასის ნატურალური ლოგარითმი ) ხასიათდება ნორმალური განაწილებით, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ მისი მინიმალური და მაქსიმალური საზღვრები, და მათ შესაბამისად გამოვთვალოთ აქციის ფასის საზღვრებიც:

და ბოლოს შესაბამისი ფორმულებით შეიძლება გავიდეთ აქციის ფასის (ლოგნორმალური დისტრიბუციის) საშუალოზე და ვარიაციაზე:

Excel File – Lognormal Property Example

წყარო:

Options, Futures & Other Derivatives, John C. Hull