საფრთხის ფუნქცია და ამონაგების დეგრადაცია

---

Fixed-income assets come with default risk. For example, the default probability statistics for commercial mortgages by years since loan origination look like this:

Source: Commercial Real Estate Analysis and Investments by D. M. Geltner, N. G. Miller, J. Clayton, P. Eichholtz

In the event of default, it is often impossible to recover the full amount of the invested capital… which ultimately leads to a difference between the contractually expected IRR and the actual IRR — this is called “Yield Degradation.”

In the example below, a 5-year loan defaults in year 4, and only 80% of the expected amount is recovered. As a result, instead of the agreed IRR of 10%, the investor ends up with just 4.89%. The difference between these two figures is what is referred to as Yield Degradation:

An interesting point here is that the later the default occurs, the lower the yield degradation tends to be.

Understanding this reality leads to the need to calculate the probability of default and incorporate its impact into the pricing of contracts in a meaningful way. In other words, investors should understand what kind of return they can realistically expect on their investment, given the likelihood of default.

To achieve this, historical statistical analysis is conducted, credit rating systems are developed, and default probabilities are determined. For example (ChatGPT):

In order to calculate the expected return based on default probabilities, certain mathematical steps are necessary. First, based on statistical data, we define the Hazard Function, then compute the Survival Probability, Cumulative Survival Probability, and Unconditional Default Probability by year. Finally, we arrive at the expected IRR (it's a bit complex, but manageable in Excel).

Definitions:

• Hazard Function – The conditional probability of default in each period (year). “Conditional” means the probability that default happens in the given period assuming it hasn’t happened in any prior period.
• Conditional Survival Probability = 1 – Hazard Function
  The probability of not defaulting in the current period, assuming survival through all previous periods.
  If we know the default rates by period, we can calculate this.
• Cumulative Survival Probability [t] = Cumulative Survival [t-1] × Conditional Survival [t]
  The probability that default has not occurred up to a specific period.
  Since the survival in any period depends on survival in the prior periods as well, we multiply the survival probabilities together to get the cumulative value.
• Unconditional Default Probability = Cumulative Survival Probability × Hazard
  This is the actual probability that default will occur in a specific period.

Mortgage Default Probability Excel

p.s.

The diagram below shows both Yield Degradation and Default Risk. These are two distinct components. The first reflects the expectation of default, while the second shows the range of deviation from that expectation — one is the average, the other is the potential scale of deviation.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ფიქსირებულ შემოსავლიან აქტივებს თან ახლავთ დეფოლტის რისკი. მაგალითად, კომერციული იპოთეკების დეფოლტის ალბათობის სტატისტიკა სესხის აღებიდან წლების გასვლის შესაბამისად ასე გამოიყურება:

წყარო: Commercial Real Estate Analysis and Investments, D. M. Geltner, N. G. Miller, J. Clayton, P. Eichholtz

დეფოლტის შემთხვევაში, სრულად ინვესტირებული თანხის ამოღებაც არ არის შესაძლებელი... რაც საბოლოო ჯამში იწვევს კონტრაქტით განსაზღვრულ IRR-სა და რეალურ IRR-ს შორის სხვაობას, ანუ "უკუგების დეგრადაციას".

ქვემოთ მოცემული მაგალითის მიხედვით, 5 წლიან სესხზე მე-4 წელს მოხდა დეფოლტი, და შესაძლებელი გახდა მისაღები თანხის მხოლოდ 80%-ის ამოღება. შედეგად, ნაცვლად იმისა რომ დათქმული IRR - 10% ყოფილიყო, მივიღეთ 4.89%. ამ ორ ციფრს შორის სხვაობას ეძახიან Yield Degradation-ს:

აქ საინტერესო მომენტია ის რომ, რაც უფრო გვიან მოხდება დეფოლტი, მით ნაკლებია უკუგების დეგრადაცია:

ასეთი რეალობის გააზრება, იწვევს დეფოლტის ალბათობის გაანგარიშების და მისი შინაარსობრივად კონტრაქტის ფასებში ასახვის საჭიროებას. ანუ, ინვესტორს უნდა ესმოდეს დეფოლტის ალბათობებიდან გამოდინარე რა იქნება მოსალოდნელი უკუგება ინვესტიციაზე.

ამ მიზნით ხდება ისტორიული სტატისტიკის ანალიზი, დგება რეიტინგების სისტემა და განისაზღვრება დეფოტლის ალბათობები. მაგალითად (ChatGPT):

იმისთვის, რომ დეფოლტის ალბათობიდან გამომდინარე მოხდეს მოსალოდნელი უკუგების გაანგარიშება, გარკვეული მათემატიკური მანიპულაციებია საჭირო. პირველ რიგში, სტატისტიკურ ინფორმაციაზე დაყრდნობით განისაზღვრება ე.წ საფრთხის ფუნქცია (Hazard Function), შემდეგ გადარჩენის ალბათობა, კუმულაციური ალბათობა და დეფოლტის უპირობო ალბათობა წლების მიხედვით. ბოლოს კი გავდივართ მოსალოდნელ IRR-ზე (ცოტა ჩახლართულია მაგრამ ექსელისთვის ადვილი)

განმარტებები:

Hazard Function - დეფოლტის მოხდენის პირობითი ალბათობა პერიოდების (წლების) მიხედვით, - პირობითი ნიშნავს, რომ ყოველ მომდევნო პერიოდში, დეფოლტის ალბათობა განისაზღვრება იმ დაშვებით რომ წინა პერიოდში დეფოლტი არ მომხდარა;

Conditional Survival Probability = 1 - Hazard Function, - პირობითი გადარჩენის ალბათობა არის ყოველ მომდევნო პერიოდში დეფოლტის არ მოხდენის ალბათობა, იმ პირობით რომ დეფოლტი მანამდე არ მომხდარა; სტატისტიკურად, თუ ვიცით დეფოლტის სიხშირეები პერიოდების მიხედვით, გვეცოდინება პიროდბითი გადარჩენის ალბათობაც.

Cumulative Survival Probability [t] = Cumulative Survival [t-1] * Conditional Survival [t] - ალბათობა იმისა რომ კონკრეტულ პერიოდამდე დეფოლტი არ მოხდება. ანუ, სტატისტიკურად მიღებული ინფორმაცია გვაძლევს კონკრეტული პერიოდის გადარჩენის ლაბათობას იმ პირობით რომ წინა პერიოდში არ მომხდარა დეფოლტი, მაგრამ წინა პერიოდში რომ არ მომხდარა მაგასაც თავისი ალბათობა აქვს, ამიტომ გადამრავლება გვიწევს კუმულაციური გადარჩენის ალბათობის მისაღებად;

Unconditional Default Probability = Cumulative Survival Probability * Hazard - ეს უკვე არის ლაბათობა იმისა რომ დეფოლტი მოხდება კონკრეტულად მოცემულ პერიოდში.

p.s.

Mortgage Default Probability Excel

პ.პ.ს.

ქვემოთ სქემაზე მოცემულია როგორც Yield Degradation ისე Default Risk. ორი განსხვავებული კომპონენტია. პირველი ასახავს დეფოლტის მოლოდინს, ხოლო მეორე მოლოდინიდან გადახრის დიაპაზონს, - ერთი საშუალოა მეორე შესაძლო გადახრის მასშტაბი.

წყარო:

Commercial Real Estate Analysis and Investments, D. M. Geltner, N. G. Miller, J. Clayton, P. Eichholtz