ფინანსურ ბაზრებს ერთი მნიშვნელოვანი თვისება ახასიათებთ: მერყეობის კლასტერიზაცია (Volatility Clustering), და გრძევალდიანი საშუალოსკენ რევერსია. ანუ, დიდ რყევებს მოჰყვება დიდი რყევები, მშვიდ პერიოდებს – მშვიდი პერიოდები, მაგრამ საერთო დონე საშუალოსკენ მიისწრაფის. ამ მომენტის დასაჭერად გამოიყენება GARCH(1,1) მოდელი.

წინა ჩანაწერში ვისაუბრეთ Moving Average (MA) და Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) მეთოდებზე, – ორივე ცდილობს შეაფასოს აქტივის მომგებიანობის მიმდინარე მერყეობა, წარსული მონაცემების გამოყენებით. მაგრამ MA ვერ იჭერს კლასტერიზაციის ეფექტს, EWMA-კი რევერსიას.

რას ნიშნავს GARCH

Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity – სახელი რთულად ჟღერს, მაგრამ იდეა საკმაოდ მარტივია.

სიტყვამნიშვნელობა
Generalizedუფრო ძველი მოდელის (ARCH) გაფართოება
Autoregressiveმერყეობა დამოკიდებულია საკუთარ წარსულზე
Conditionalდამოკიდებულია წარსულ ინფორმაციაზე
Heteroskedasticityვარიაცია მუდმივი არ არის

ანუ მარტივად:

დღევანდელი მერყეობა დამოკიდებულია გრძელვადიან მერყეობაზე, გუშინდელ მერყეპ და გუშინდელ შოკზე.

ძირითადი ფორმულა

მოდელი ვარიაციას (მერყეობის კვადრატი) ასე აახლებს:

σt2=ω+αut−12+βσt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \beta\sigma_{t-1}^2

სადაც:

სიმბოლომნიშვნელობა
ut−1u_{t-1}გუშინდელი ამონაგები
ut−12u_{t-1}^2შოკის სიდიდე
σt−12\sigma_{t-1}^2გუშინდელი ვარიაცია
ω\omegaსაბაზისო ვარიაცია
α\alphaრეაქცია ახალ შოკებზე
β\betaმერყეობის ინერცია

აქ,

  • ω = VL * ​(1− α − β), სადაც VL ​≈ ამონაგების გრძელვადიანი საშუალო ვარიაცია

ანუ, EWMA-სგან განსხვავებით, GARCH-ში არსებობს გრძელვადიანი საშუალო ვარიაცია, რომლეიც გამოითვლება ასე:VL=ω1−α−βV_L=\frac{\omega}{1-\alpha-\beta}

შესაბამისი გრძელვადიანი მერყეობა არის:σL=VL\sigma_L=\sqrt{V_L}

ეს ნიშნავს მერყეობის იმ დონეს, რომლისკენაც მოდელი დროთა განმავლობაში მიისწრაფის, – რეგრესირდება.

მნიშვნელოვანია, რომ მერყეობა ყოველდღიურად ამ დონესთან ახლოს არ იქნება. ეს დონე უბრალოდ გრავიტაციის მსგავსად იზიდავს მერყეობას გრძელვადიან პერიოდში.

რატომ ჩნდება მერყეობის კლასტერულობა

GARCH-ის ფორმულაში ვხედავთ:σt2=ω+αut−12+βσt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \beta\sigma_{t-1}^2

თუ დღეს მერყეობა მაღალია, შემდეგ პერიოდში დარჩება:

βσt−12\beta\sigma_{t-1}^2

რადგან β ჩვეულებრივ საკმაოდ დიდია (0.85–0.95), მერყეობა ნელა იკლებს და შესაბამისად ქმნის მერყეობის კლასტერულობას.

მათემატიკურად, წარსული შოკების წონა ასეთია:αβi\alpha \beta^{i}

ანუ შოკების გავლენა დროთა განმავლობაში ექსპონენციალურად მცირდება.

პარამეტრების ინტერპრეტაცია

ფინანსურ ბაზრებზე ყოველდღიური მონაცემებისთვის ხშირად ვხედავთ ასეთ მნიშვნელობებს:

პარამეტრიტიპიური დიაპაზონი
α0.05 – 0.12
β0.85 – 0.94

მოდელის სტაბილურობისთვის აუცილებელია:α+β<1\alpha + \beta < 1

თუ ეს ჯამი ერთთან ძალიან ახლოა, შოკების გავლენა ძალიან ნელა ქრება. რეალურ ბაზრებზე ეს ჯამი ხშირად 0.95–0.99-ის ფარგლებშია.

დააკვირდით, რომ თუ ω\omega ნულის ტოლია მაშინ GARCH = EWMA

რატომ ეწოდება GARCH (1,1)

მოდელის ფორმატი არის GARCH(p,q).

სადაც:

  • p – რამდენ წარსულ შოკს ვიყენებთ
  • q – რამდენ წარსულ მერყეობის მნიშვნელობას ვიყენებთ

ამიტომ: GARCH(1,1) ნიშნავს, რომ მოდელი იყენებს:

  • ბოლო პერიოდის კვადრატულ ამონაგებს
  • ბოლო პერიოდის ვარიაციას

მიუხედავად სიმარტივისა, GARCH(1,1) არის ყველაზე პოპულარული მერყეობის მოდელი ფინანსებში.

გრაფიკი გაკეთებულია TSLA-ას აქციის ისტორიაზე დაყრდნობით: Excel – GARCH(1,1)

აქ ერთი მნიშნელოვანი დეტალი უნდა გავარჩით რომ დავინახოთ რატომ გადის GARCH წონასწორობიდან უფრო შორს ვიდრე EMWA.

ინტუიციურად ვფიქრობთ ასე:

EWMA → ინერცია
GARCH → ინერცია + გრავიტაცია

ამიტომ უნდა გვეგონოს: GARCH უფრო ახლოს იქნება equilibrium-თან, მაგრამ გრაფიკი სხვა რამეს აჩვენებს. მიზეზი არის ის რომ EWMA უფრო სწრაფად რეაგირებს შოკზე.

შევხედოთ ფორმულებს.

EWMA:σt2=λσt−12+(1−λ)ut−12\sigma_t^2 = \lambda\sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda)u_{t-1}^2

GARCH:σt2=ω+αut−12+βσt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \beta\sigma_{t-1}^2

ახლა შევხედოთ წონებს. RiskMetrics EWMA: λ = 0.94; 1-λ = 0.06

GARCH-ის ტიპიური პარამეტრები (Hull-ის მაგალითში): α = 0.13, β = 0.86.

ანუ: შოკის წონა EMWA-ში არის 6%, GARCH-ში 13%. – რეაგირების ორმაგად და ამიტომ გრაფიკზე უფრო შორს მიდის. ამასტან ω ძალიან პატარაა, ანუ გრავიტაცია ძალიან სუსტია მოკლევადიან პერიოდში.

ადაპტირებულია წყაროდან:

Options, Futures & Other Derivatives, John C. Hull