უდივიდენდო აქციის ფასის მოძრაობის პროცესის გავრცელებული მოდელია ბრაუნის გეომეტრიული მოძრაობა (Robert Brown (1773–1858) was a Scottish botanist). თავიდან, ბრაუნმა შენიშნა რომ მტვრის ნაწილაკები წყალში ხტუნვა-ხტუნვით მოძრაობდნენ, შემდეგ აინშტაინმა ახსნა, რომ ამის მიზეზი მოლეკულების შეჯახებები იყო, ვინერმა მისცა მათემატიკური ფორმულირება და იტომ მიიყვანა “ბრაუნის გეომეტრიული მოძრაობის” სპეციფიკამდე…

განზოგადებული ვინერის პროცესის პირდაპირ გამოყენება აქციის ფასის მოძრაობის მოდელირებისთვის არ არის მიზანშეწონილი, რადგან ინვესტორები აქციის ფასის მოლოდინს ხედავენ პროცენტულ და არა აბსოლიტურ მაჩვენებლებში.

განზოგადებული ვინერის პროცესი: dx = a*dt + b*dz (დეტალურად)

აქციის ფასი პირდაპირ რომ ჩაგვესვა ფორმულაში, ცვლადის მოსალოდნელი Drift Rate გამოვიდოდა აბსოლიტური ციფრი, რაც აქციის სხვადასხვა ფასის შემთხვევაში არასწორია. რადგან ინვესტორისთვის სულ ერთია რა ღირს აქცია 10$ თუ 1000$, მისთვის მნიშვნელოვანია მოსალოდნელი უკუგება პროცენტულ გამოსახულებაში იყოს მისაღები…

ანუ თუ დავუშვებთ, რომ არავითარი მოულოდნელობა არ არსებობს და განზოგადებული ვინერის პროცესის ფორმულას, მეორე კომპონენტს ჩამოვაჭრით, მაშინ მივიღებთ რომ:

 ΔS = μS * Δt (μ უკუგების მოლოდინი).

უსასრულოდ მცირე დროითი მონაკვეთისთვის, Δt –> 0 (მიისწრაფის ნოლისკენ) მივიღებთ: dS = μS*dt, ანუ – dS / S = μ*dt.

თუ, უსასრულოდ მცირე დროით მონაკვეთებს დავაინტეგრირებთ (ავაჯამებთ) T დროისთვის, მივიღებთ: ST = SoeμT – სადაც μ გამოვა უწყვეტად დარიცხული საპროცენტო განაკვეთი T დროის ერთეულისთვის.

მაგრამ, რეალური სამყარო მოულოდნელ მერყეობასაც გულისხმობს. ამასთან, საღი აზრი მიგვანიშნებს რომ მერყეობის დიაპაზონი მუდმივი უნდა იყოს, მიუხედავად იმისა თუ რა ფასი აქვს აქციას. ანუ, თუ ინვესტორის მოთხოვნილი მოსალოდნელი მოგება მუდმივია და ის გამომდინარეობს გაურკვევლობის დიაპაზონიდან, მაშინ მის მიერ აღქმული გაურკვევლობა ერთიდაიგივე უნდა იყოს პროცენტულ გამოხატულებაში აქციის ფასის მიუხედავად. შესაბამისად ვიღებთ:

dS = μS*dt +σS*dz, (σ სტანდარტული გადახრა, შესაბამისად σ2 არის ფასის ვარიაცია)

მივიღეთ იტოს პროცესის ვერსია, რომელსაც ბრაუნის გეომეტრიულ მოძრაობას უწოდებენ, ფორმულის ასე ჩაწერაც შეიძლება: dS/S = μ*dt +σ*dz.

მისი დისკრეტული ვარიანტი (სასრული დროითი სეგმენტებისთვის) ასეთია:

 ΔS = μSΔt + σSε√Δt ან ΔS/S= μΔt + σε√Δt

მაგალითი და მონტეკარლოს სიმულაცია

ქვემოთ გრაფიკზე მოცემულია ერთი ვარიანტი თუ როგორ შეიძლება განვითარდეს აქციის ფასი ბრაუნის გეომეტრიული მოძრაობის ფორმულის შესაბამისად.

μ = 15%, σ=30%, S=100$, Δt = 1 კვირა: ε = შემთხვევითი ციფრი 0-დან 1-მდე:

ეს არის აქციის ფასის ევლუციის მხოლოდ ერთი ვერსია, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ სიმულაცია ექსელში, და ვნახოთ რა საბოლოო შედეგს მივიღებთ1000 სხვადასხვა ε-ს შემთხვევაში. რადგან ε არის შემტხვევითი ცვლადი, მაგრამ ნორმალური დისტრიბუციის ალბათობით ექსელში ეს ფორმულა შეგვიძლია გამოვიყენოთ =NORM.S.INV(RAND())

სიმულაციამ მოგვცა 10 კვირის თავზე, აქციის ფასის მოლოდინის დიაპაზონი: საშუალოდ 113$, შემთხვევების 50% ვარდება 91$-დან 132$-მდე რეინჯში, თუმცა გაურკვევლობის დიაპაზონი ძალიან დიდია პესიმისტური 46$-დან, ოპტიმისტურ 267$-მდე.

Excel – Stock Price Motion

ადაპტირებულია წყაროდან:

Options, Futures & Other Derivatives, John C. Hull