A professional blog for C-level managers, investors, and serious learners who want to understand how business value is created, measured, and improved.

იაპონელი მათემატიკოსის Kiyoshi Itô-ს (伊藤 清) (1915–2008), მიგნების გარეშე ვერ იარსებებდა Black-Scholes-Merton -ის მოდელი და შესაბამისად დერივატივების ბაზარი…

სანამ იტოს მიგნებაზე გადავიდოდეთ, მანამდე კარგია გავერკვეთ განზოგადებულ ვინერის პროცესში, მაგრამ კიდევ მანამდე მარკოვისა და ვინერის პროცესებში გარკვევაა საჭირო (მოცემულ ბმულებზე შეგიძლიათ ნახვა).

განზოგადებული ვინერის პროცესი

განზოგადებული ვინერის პროცესი არის, იგივე ვინერის პროცესი ტენდეციის დამატებით. ვინერის პროცესში ცვლადის საშუალო მოლოდინი დროში ნულის ტოლია, ხოლო ვარიაცია ერთის. ამასთან, ცვლილებები არ არის ისტორიულ თვით-კორელაციაში. განზოგადებულ ვინერის პროცესში კი ჩნდება ტენდეცია. (სტოხასტიკური პროცესის საშუალოს ცვლილებას გაადაადგილების განაკვეთს (Drift Rate), ხოლო ვარიაციის ცვლილებას ვარიაციის განაკვეთს (Variance Rate) ეძახიან).

დიაგრამაზე ასე გამოიყურება:

განზოგადებული ვინერის პროცესი აღიწერება ფორმულით:

dx = a*dt + b*dz – ეს ჩანაწერი ასახავს უსასრულოდ მცირე დროით მონაკვეთებში ცვლადის ცვლილებას (გაგახსენებთ d არის იგივე Δ ოღონდ უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობის). ფორმულის დისკრეტული ვერსია, ანუ დროის სასრული მონაკვეთებისთვის ასე გამოიყურება: Δx=a*Δt+b*ε* √Δt​, სადაც ε არის შემთხვევითი მნიშვნელობა ნორმალური დისტრიბუციის ალბათობოთ.

დავუბრუნდეთ ამ ფორმულას: dx = a*dt + b*dz

ფორმულის მარჯვენა მხარე შედგება ორი ელემენტისგან, ტრენდი და ვინერის პროცესი. თუ არ არსებობს ვინერის პროცესი, ანუ შემთხვევითობა, მაშინ სიდიდის მოძრაობა დეტერმინირებულია, ანუ x-ის გადაადგილების მოსალოდნელი განაკვეთი არის a.

dx = a*dt, აქედან გამომდინარეობს რომ Drift Rate, – a = dx/dt.

და დროის მცირე მონაკვეთების ინტეგრირებით მივიღებთ, რომ: x =x_0​+at

მეორე კომპონენტი (b*dz), პირველი კომპონენტით განსაზღვრულ ტრენდს ამატებს ხმაურს/ცვალებადობას. მისი ოდენობა განისაზღვრება b-ჯერ ვინერის პროცესი. რადგან ვინერის პროცესის ვარიაციის განაკვეთი დროის მონაკვეთისთვის ერთის ტოლია, b*dz-კომპონენტის ვარიაციის განაკვეთი b²-ის ტოლი გამოდის. (სტატისტიკის ზოგადი წესი: Var(cX)=c² Var(X) – (ეს ნიშნავს რომ თუ შემთხვევით სიდიდე X-ს დავშკალავთ C-თი, მაშინ მიღებული სიდიდის ვარიაცია დაიშკალება C²-ით). შესაბამისად, Var(b⋅zt​)=b²⋅Var(zt​) და Var(zt​)=t გამომდინარეობს, რომ Var(xt​)=b²⋅t. გრაფიკზე დააკვირდით, რომ მრუდის მაღლებასტან ერრთად მერყეობაც იზრდება.

იტოს პროცესი:

იტოს პროცესი არის ისეთი განზოგადებული ვინერის პროცესი სადაც a და b, წარმოადგენენ დროის და ქვემდებარე ცვლადის ფუნქნციებს:

dx = a (x, t) dt + b (x, t) dz

იტოს ლემა

იტომ დაამტკიცა, რომ თუ x (აქცია) მიყვება იტოს პროცესს, და G არის x-ისა და t-ს ფუნქცია (ოფცია), მაშინ G-ც მიყვება იტოს პროცესს, სადაც drift rate და variance rate ამ ფორმულის შესაბამისად განისაზღვრება, და dz-ი იგივე ვინერის პროცესია.

მოკლედ, ამ არც თუ ისე იოლად გასაგებმა და უფრო რთულად დასამტკიცებელმა ფორმულამ ფინანსისტებს მისცა აქციისა და ოფციის ღირებულებებს შორის კავშირის დამყარების დანახვის შესაძლებლობა…

იტოს ლემა რომ უფრო გასაგები გახდეს, აქციის ფასის მოძრაობის პროცესის გააზრებაა საჭირო, რომელსაც შემდეგ ჩანაწერში შევეხები…

წყარო: Options, Futures & Other Derivatives, John C. Hull